ナベアツ方程式

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ナベアツ方程式(ナベアツほうていしき)は、世界のナベアツが1から10nまで数えたときにアホになる回数を算出する数式である。

概要

世界のナベアツは、数字を1から数えていくとき、3の倍数および3のつく数の時にアホになる。ナベアツ方程式は、アホになる回数を算出するものである。

世界のナベアツが1から10nまで数えたときにアホになる回数は、nが1以上の整数の時、

と表される。これがナベアツ方程式である。

なお、この方程式はnが1以上の整数の時にしか使えないため、「1から100まで数えたときにアホになる回数」は計算できるが、「1から40まで数えたときにアホになる回数」は計算できない。

証明

0以上(10n - 1)以下の整数のうち「3」を含まない整数は、3以外の9種類の文字をn個並べる順列と等しいため、9n個である。これらを3で割った余りで分類し、以下のように表すことにする。(n=3の場合を例として示す)

余り0 (例: 057, 945)
余り1 (例: 058, 946)
余り2 (例: 059, 947)

ここで、 を満たしている必要がある。

このとき、「0以上(10n - 1)以下の整数」のうち、3の倍数および3のつく数の個数は である。

ただし求めたいナベアツ方程式は「1から10nまで」のため、3の倍数である0を除外して となる。

n=0のとき

0以上0以下の整数(つまり「0」だけ)のうち「3」を含まないもの(やっぱり「0」だけ)を3で割った余りで分類すると、以下の通りになる。

余り0 (「0」だけ)
余り1 (なし)
余り2 (なし)

n≧1のとき

さて、0以上(10(n-1) - 1)以下の整数のうち「3」を含まないものの右端に、「3」を含まない1桁の数字を付け加えて、0以上(10n - 1)以下の「3」を含まない整数を作る。

この数を3で割った余りは以下のようになる。(n=4の場合を例として示す)

余り0
(0, 6, 9)
余り1
(1, 4, 7)
余り2
(2, 5, 8)
余り0
(例: 057, 945)
余り0
(例: 0570, 9456)
余り1
(例: 0571, 9457)
余り2
(例: 0572, 9458)
余り1
(例: 058, 946)
余り1
(例: 0580, 9466)
余り2
(例: 0581, 9467)
余り0
(例: 0582, 9468)
余り2
(例: 059, 947)
余り2
(例: 0590, 9476)
余り0
(例: 0591, 9477)
余り1
(例: 0592, 9478)

これをまとめると、0以上(10n - 1)以下の整数のうち「3」を含まないものを3で割った余りで分類した個数は、以下の通りとなる。

余り0
余り1
余り2

以上より、 に対して が示された。さらに より以下の漸化式が得られる。

これを解くと、 が得られる。これは を満たしており、3を含まない0以上(10n - 1)以下の整数全体を取り尽くしていることが確認できる。

以上より、求めたいナベアツ方程式は となる。

収束の定理

「1から10nまでの数」のうち「アホになる数字」の割合は、

と表される。これで n→∞ とすると式は1に収束する。

従って、数字が大きくなるに従ってアホになる数字の割合は増えてゆき、その割合は100%に近づいていく。世界のナベアツは、巨大な数字を数えるときはほとんど全部でアホになっているのである。


外部リンク


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